Методическая разработка «Как решать задачу на доказательство»
Прямой метод
Существует шесть базовых геометрических методов решения задач на доказательство:
Метод от противного;
Метод совпадения;
Метод достраивания;
Прямой метод;
Координатный метод;
Векторный метод.
Другие методы являются комбинацией базовых. Ход доказательства задачи зависит от выбранного метода решения.
Примерный план для прямого метода:
1) Записать «дано», причём так, чтобы факт, заложенный в вопросе задачи, мог быть отображён в ходе рассуждений на рисунке правдоподобно.
2) Раскрыть условие задачи из «дано» так, чтобы понять, с элементами каких(-ой) фигур(-ы) оно соотносится.
3) Получить с помощью теорем из выявленных свойств элементов фигур(-ы) новые(-ое) свойства(-о), оформить их (его) символически.
4) Расписать в деталях определения(-е) объектов(-а) в символическом виде, взять для дальнейших рассуждений лишь необходимые нам соотношения для будущих фигур.
5) Найти на рисунке неиспользованные фигуры с полученными на 3) и 4) шагах свойствами или ввести в рассмотрение, если нужно, другие фигуры с выбранными свойствами.
6) Повторить шаги (3)—(5) до тех пор, пока не будет разрешён вопрос задачи.
7) В конце задачи на доказательство пишется «ч.т.д.» или латинская аббревиатура «QED» (что и требовалось доказать), наподобие подписи.
Метод от противного
Метод доказательства от противного или приведения к противоречию — это способ рассуждения, при котором утверждение вопроса задачи заменяется отрицательным высказыванием, которое используется как одно из условий «дано», с целью выведения двух взаимоисключающих друг друга утверждений.
По сути, это логический трюк, с помощью которого к «дано» добавляется ещё одно требование, которое наперекор утверждению вопроса задачи считают истинным, впоследствии приводящее к абсурду в ходе обычного рассуждения. Из полученного абсурда делают вывод, что отрицающее высказывание является ложным, а так как других альтернатив не остаётся, то этим обосновывается истинность утверждения вопроса задачи.
То есть мы вместо прямого хода рассуждений выбираем «обходной» путь. И поэтому этот метод называют ещё косвенным.
Когда его можно применить:
а) если вопрос задачи имеет отрицательную или модальную формулировку: «нельзя…», «можно…», «хотя бы…», «только…»;
б) вопрос задачи содержит соотношения больше или меньше;
в) вопрос задачи подразумевает выбор из двух альтернатив или является утверждением всеобщности.
Основное неудобство метода состоит в том, что новое требование (противное предположение) нельзя адекватно отобразить на рисунке, так как набор этих условий задаёт невозможную геометрическую конфигурацию. Это чисто умозрительный метод.
Метод достраивания в задачах на доказательство
Суть метода достраивания состоит в том, что мы усложняем геометрическую конструкцию задачи, строя дополнительные фигуры к данному рисунку, и связываем свойства новой конфигурации с элементами исходной. Эта конструкция всегда искусственна, поскольку она вводится не на «бум», а с тем логическим расчётом, что она создаст нужные для нас выводы, исходя из доступных знаний. Соотношения, возникающие в новой конфигурации, выполняют роль посредников и в конце концов превращаются в соотношения, состоящие из элементов исходной. Если в задаче были проведены прямые линии или дуги окружностей через данные в условии точки, а также введены фигуры, порождающие заявленные в условии геометрические величины, то это не считается применением метода достраивания.
Метод совпадения в задачах на доказательство
Метод совпадения состоит в том, что мы задаём геометрическую конструкцию с выбранными нами свойствами, которые отвлечены от условий задачи, а затем устанавливаем совпадение её элементов с данными условия путём вывода второстепенных свойств и соотношений. Она вводится не на «бум», а с тем логическим расчётом, что заданная конфигурация породит нужные для нас соотношения и свойства, исходя из доступных нам знаний. Очень важно, чтобы введённая конструкция была легко исследуемой и однозначно налагалась на фигуры из «дано».
