Государственное автономное профессиональное
образовательное учреждение
Туймазинский индустриальный колледж
Методическая разработка урока
для студентов первого курса отделения ПССЗ
по математике на тему
Исследование функции на монотонность
Разработчик: Ибатуллина Файруза Шамилевна, преподаватель
ТЕМА РАЗДЕЛА: Дифференциальное исчисление.
ТЕМА УРОКА: Исследование функции на монотонность.
ЦЕЛИ УРОКА:
обучающая – учить исследовать функцию на монотонность,
развивающая – развивать логическое мышление, способности к самоконтролю и саморегуляции,
воспитательная ‑ самостоятельно принимать решения, работать в паре.
ТЕХНОЛОГИЯ: модульная.
СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ: раздаточный материал (учебная информация, задания).
ПЛАН УРОКА:
№ этапа |
Работа учителя |
Работа ученика |
|
Приветствие, настроить учащихся на плодотворную работу на уроке, сообщить тему и цель урока |
Настроиться на плодотворную работу на уроке, подготовить свое рабочее место |
|
Обеспечение мотивации и принятия студентами цели учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний и умений |
Воспринять актуальность темы урока, отвечать на вопросы преподавателя |
|
Консультирование и контроль над работой с обучающим модулем |
Внимательно читать и выполнять задания обучающего модуля |
|
Мобилизация студентов на рефлексию своего поведения. |
Самопроверка по эталону. Осмысление своих действий и самооценка. |
|
Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. |
Запись домашнего задания |
Ход урока
-
Орг.момент
Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами научимся с помощью производной находить промежутки возрастания и убывания функции, заданной аналитически. Для этого нам нужно:
-
узнать признаки возрастания и убывания функции;
-
изучить алгоритм исследования функции на монотонность;
-
научиться, действуя по алгоритму исследовать функцию на монотонность.
-
Актуализация знаний
На предыдущих занятиях мы с вами учились находить производные различных функций, пользуясь формулами и правилами дифференцирования. Давайте вспомним некоторые из них.
-
На доске задание:
Закончите формулу:
Заготовка на доске: |
|
|
-
Ответьте на вопросы:
-
Какие из этих формул являются правилами дифференцирования, а какие формулами?
-
Какую формулу (или формулы) нужно применить, чтобы вычислить:
Заготовка на доске:
а) ;
б) ;
в) ;
г);
д);
е) .
-
Какую функцию называют возрастающей на промежутке?
-
Какую функцию называют убывающей на промежутке?
-
Как называют функцию, для которой меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции?
-
Как называют функцию, для которой меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции?
Вы уже умеете определять промежутки возрастания и убывания функции по ее графику. Но в математике встречается и обратная задача: зная только формулу, задающую некоторую функцию, выяснить промежутки монотонности и построить график. Эта задача, оказывается, легко решается с помощью производной.
Итак, сегодня мы будем учиться, используя производные функций, исследовать их на монотонность, что в последствии пригодится нам для построения графика.
-
Изучение нового материала + закрепление.
Работать сегодня вы будете самостоятельно. Перед вами обучающий модуль (Приложение 1.). Ваша задача внимательно читать и выполнять в тетради задания модуля. На работу с модулем вам отводится 60 минут. При выполнении заданий разрешается советоваться с соседом по парте.
Итак, время пошло.
Самостоятельно работают с модулями, преподаватель консультирует, координирует и контролирует работу учащихся.
-
Самопроверка + Рефлексия
Ребята, заканчиваем работу с модулем. Вы хорошо потрудились. Пришла пора оценить свой труд. Сейчас вы получите эталоны ответов и критерии оценки. Ваша задача проверить свою работу по этим эталонам и выставить соответствующую оценку себе в тетрадь. Будьте честны. Ваша оценка попадет в журнал, при условии, что вы подтвердите ее выполненной домашней контрольной работой.
Учащиеся выполняют самопроверку.
Ребята, поднимите руки, кто поставил себе оценку «5», «4», «3», «2».
Дать оценку группе в целом: отлично поработали, хорошо, не плохо, недостаточно хорошо.
Теперь, начертите в тетради отрезок и расставьте на нем деления от 0 до 5.
Отметьте на этом отрезке:
-
буквой «У» степень удовлетворенности собственной работой на уроке;
-
буквой «Н» степень новизны материала сегодняшнего урока;
-
буквой «П» степень полезности, на ваш взгляд, материала, изученного на уроке.
-
Итог урока + Домашнее задание
Ребята, итогом нашей сегодняшней работы будет выполнение домашней контрольной работы (Приложение 2.).
Сегодня мы с вами учились исследовать функцию на монотонность, тем самым положили еще одну монетку в копилочку комплексного исследования функции, заданной аналитически.
Спасибо за урок!
Список литературы
1. Барышев С.Я. Блочно-модульное обучение. ‑ М., 1997.
2. Модульно-компетентностное профессиональное образование (методические рекомендации)/ под ред. Глазунова А.Т. – М.: Издательский центр НОУ ИСОМ, 2003.
3. Вдовина Л.Д., Сергеев Д.Н. Модульное обучение в профессиональной школе: от теории к практике. Методические рекомендации. – Тюмень: ТОГИРРО, 2006. – 84 с.
Приложение 1
Исследование функции на монотонность
Изучив этот модуль, Вы:
-
узнаете признаки возрастания, убывания функции;
-
изучите алгоритм исследования функции на монотонность;
-
научитесь проводить исследование функции на монотонность.
-
Внимательно прочитайте учебную информацию и выполните задания 1,2.
Учебная информация Признаки монотонности функции
|
|
Пример: на рис. 1 изображен график производной Так как значения лежат на оси , то участок графика соответствующий неравенству (производная принимает положительные значения) расположен выше оси . На оси ему соответствует промежуток . Согласно признаку монотонности на этом промежутке функция возрастает (см. рис. 2). Аналогично, участок графика соответствующий неравенству (производная принимает отрицательные значения) расположен ниже оси . На оси ему соответствует промежуток . Согласно признаку монотонности на этом промежутке функция убывает (см. рис. 2). |
-
Задание 1.
Запишите в тетрадь признаки монотонности функции.
Задание 2. Рассмотрите рисунок 3. На нем изображен график производной функции .
|
|
-
Внимательно прочитайте учебную информацию и выполните задания 3,4.
Учебная информация
Алгоритм исследования функции на монотонность
Исходя из признаков монотонности функции сложился следующий алгоритм исследования функции на монотонность:
Например: Исследовать на монотонность функцию .
-
Найти область определения функции
-
Исключим из множества всех действительных чисел 0, т.к. на нуль делить нельзя
.
-
найти критические точки функции:
а) вычислить ;
б) определить при каких она не существует;
в) найти , при которых ;
2)
а) не имеет смысла при
б) ,
,
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
,
.
-
выбрать из них лишь те, которые входят в область определения функции; отметить на числовой прямой область определения функции и ее критические точки;
-
исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек (подставляя в вместо значения из каждого получившегося промежутка); расставить эти знаки над числовой прямой; под ней стрелками показать соответствующее поведение функции;
4) ,
,
,
,
-
выписать промежутки возрастания и убывания функции на основании признаков монотонности.
5) : ,
:
-
-
Задание 3.
Запишите в тетрадь алгоритм исследования функции на монотонность.
-
Задание 4.
Установите соответствие между порядковым номером шагов алгоритма и действием
1. |
а) Отметить критические точки на числовой прямой б) Исследовать знак производной на каждом из полученных промежутков в) Выписать промежутки возрастания и убывания г) Найти область определения функции д) Вычислить критические точки функции |
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
-
Внимательно прочитайте учебную информацию и выполните задание 5.
Учебная информация Пример: Исследовать на монотонность функцию .
|
|
Решение 1) . |
Пояснения Найти область определения |
2) , , или
|
Вычислить критические точки |
3) |
Отметить критические точки на числовой прямой |
4) . |
Исследовать знак производной на каждом из полученных промежутков |
5) |
|
-
Задание 5.
Исследуйте на монотонность функции:
а) ; б) .
-
Дополнительное задание.
Исследуйте на монотонность функцию:
а) на интервале ; б) .
-
Выполните самопроверку.
Приложение 2
Домашняя контрольная работа
Исследуйте функцию на монотонность:
I вариант
II вариант
III вариант
IV вариант
V вариант
VI вариант