Признаки равенства треугольников
- Треугольник и его элементы
- Задачи по теме «Первый признак равенства треугольников»
- Задачи по теме «Второй признак равенства треугольников»
- Задачи по теме «Третий признак равенства треугольников»
- Справочный материал (формулировка теоремы и ее доказательство):
а) Первый признак равенства треугольников
б) Второй признак равенства треугольников
в) Третий признак равенства треугольников
N
L
D
Рис. 1
Назовите:
1) сторону, лежащую против угла N :
2) сторону, лежащую против угла NDL :
3) угол, лежащий против стороны DN :
4) угол, лежащий против стороны DL :
5) углы, прилежащие к стороне NL : и
Первый признак равенства треугольников
L
Докажите, что OLF = OMN
Решение:
1) Рассмотрим OLF и :
а) OL = — по условию,
б) OF = — по условию,
F
O
N
M
Рис. 2
в) LOF = — как вертикальные углы.
Следовательно OLF = — по двум сторонам и углу между ними.
S
A
Докажите, что ARS = BRS
R
S
Решение:
1) Рассмотрим ARS и
B
Рис. 3
а ) Сторона = — по условию.
б) Сторона = — общая сторона.
в) = — по условию.
г) Следовательно, ARS = — по двум
и углу .
2) Т. к. ASR= BSR , то соответственные стороны и углы равны, BR = AR = 18 см, BRS = ARS =
15˚
Второй признак равенства треугольников
B
Докажите, что AXO = BZO
Решение:
X
O
Z
1) Рассмотрим BZO и
У них: а ) Сторона = — по условию;
б) = — по условию;
в) = — как вертикальные.
Следовательно AXO = — по стороне и двум прилежащим к ней .
A
Рис. 4
17 дм
На рисунке 5 луч DF биссектриса угла ADF
а) Докажите, что ADF = BDF ;
б) Найдите сторону BD и DBF .
D
Решение:
а) Рассмотрим ADF и .
У них: 1) = — общая сторона;
2) = — по условию;
3) = , так как DF –
A
B
110˚
F
Рис. 5
биссектриса ADB.
Следовательно, ADF = по и прилежащим к ней .
б) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, то есть сторона DB = = дм, B = = .
˚
Третий признак равенства треугольников
A
B
а) Докажите, что CAN = BAN
б) Найдите ABN.
Решение:
а) Рассмотрим и BAN.
У них: 1) AC = — по условию;
2) CN = — по условию;
3) AN = AN – общая сторона.
Значит, CAN = — по трем .
б) Из равенства треугольников CAN и BAN следует равенство соответствующих углов, то есть ABN = = .
108 ̊
C
N
Рис. 6
˚
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
C
Рассмотрим треугольники ABC и DEF , у которых AB=DE, AC=DF, углы A и D равны (рис. 7). Докажем, что ABC = DEF.
Так как A = D , то треугольник ABC можно наложить на треугольник DEF так, что вершина A совместится с вершиной D, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи DE и DF. Поскольку AB=DE, AC=DF, то сторона AB совместится со стороной DE, а сторона AC – со стороной DF ; в частности, совместятся точки B и E, C и F. Следовательно, совместятся стороны BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, значит, они равны.
A
B
E
F
D
Рис. 7
Теорема доказана.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим треугольники ABC и DEF , у которых AB = DE, A = D, B = E (рис. 8). Докажем, что ABC= DEF.
Наложим треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, сторона AB – с равной ей стороной DE, а вершины C и F оказались по одну сторону от прямой DE.
Так как A = D и B= E, то сторона AC наложится на луч DF, а сторона BC – на луч EF. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче DF, так и на луче EF и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной F. Значит, совместятся стороны AC и DF, BC и EF.
Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, поэтому они равны.
C
A
B
E
F
D
Рис. 8
Теорема доказана.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
E
C
Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB = DE, BC = EF, CA = FD (рис. 9). Докажем, что ABC = DEF. Приложим треугольник ABC к треугольнику DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, вершина B – с вершиной E, а вершины C и F оказались по разные стороны от прямой DE (рис. 10).
Возможны три случая: луч FC проходит внутри угла DFE (рис. 10, а); луч FC совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 10, б); луч FC проходит вне угла DFE (рис. 10, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи можете рассмотреть самостоятельно).
Так как по условию теоремы стороны AC и DF, BC и EF равны, то треугольники DFC и EFC – равнобедренные (см. рис. 10, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 = 2, 3 = 4, поэтому DCE = DFE. Итак, AC = DF, BC = EF, C = F.
Следовательно, треугольники ABC и DEF равны по первому признаку равенства треугольников.
F
B
A
D
Рис. 9
D (A)
D (A)
C
1
2
F
3
4
C
F
E (B)
E (B)
б)
а)
D (A)
F
C
Теорема доказана.
E (B)
в)
Рис. 10
